Per resoldre un sistema d’equacions amb tres incògnites i tres equacions, pots utilitzar diferents mètodes, com el mètode de substitució, el mètode d’eliminació o el mètode de matrius. A continuació, et mostraré un exemple de com resoldre un sistema d’aquest tipus utilitzant el mètode d’eliminació:
Suposem que tenim el següent sistema d’equacions:
Equació 1: 2x + 3y – z = 10
Equació 2: x – 2y + 2z = -1
Equació 3: 3x + y – 3z = 12
Pas 1: Escull dues equacions i elimina la mateixa variable d’elles. Veiem les equacions 1 i 2 i eliminarem la variable «x».
Multipliquem l’equació 1 per -1 i sumem les dues equacions:
-1 * (2x + 3y – z) + (x – 2y + 2z) = -1 * 10 + (-1)
-2x – 3y + z + x – 2y + 2z = -10 – 1
-x – 5y + 3z = -11 (Equació 4)
Pas 2: Escull unes altres dues equacions i elimina una altra variable. Veiem les equacions 2 i 3 i eliminarem la variable «x».
Multipliquem l’equació 2 per 3 i l’equació 3 per 1, i després les sumem:
3 * (x – 2y + 2z) + (3x + y – 3z) = 3 * (-1) + 12
3x – 6y + 6z + 3x + y – 3z = -3 + 12
6x – 5y + 3z = 9 (Equació 5)
Pas 3: Ara tenim un sistema de dues equacions amb dues incògnites. Resolem les equacions 4 i 5.
Multipliquem l’equació 4 per 6 i l’equació 5 per -1, i després les sumem:
6 * (-x – 5y + 3z) + (-1) * (6x – 5y + 3z) = 6 * (-11) + (-1) * 9
-6x – 30y + 18z – 6x + 5y – 3z = -66 – 9
-12x – 25y + 15z = -75 (Equació 6)
Pas 4: Ara tenim un sistema de dues equacions amb dues incògnites:
6x – 5y + 3z = 9 (Equació 5)
-12x – 25y + 15z = -75 (Equació 6)
Pots resoldre aquest sistema d’equacions utilitzant novament el mètode d’eliminació o el mètode de substitució. Continuant amb el mètode d’eliminació, multipl
iquem l’equació 5 per 2 i la sumem a l’equació 6:
2 * (6x – 5y + 3z) + (-12x – 25y + 15z) = 2 * 9 + (-75)
12x – 10y + 6z – 12x – 25y + 15z = 18 – 75
-35y + 21z = -57 (Equació 7)
Ara tenim una equació amb una sola incògnita.
Pas 5: Resolem l’equació 7 per trobar el valor d’una de les incògnites. Per exemple, desemmascarar «y»:
-35y + 21z = -57
-35y = -57 – 21z
y = (-57 – 21z) / -35
Pas 6: Sustituïm el valor trobat de «y» en una de les equacions originals per trobar el valor d’una altra incògnita. Per exemple, utilitzem l’equació 1:
2x + 3y – z = 10
2x + 3((-57 – 21z) / -35) – z = 10
Pas 7: Resolem l’equació resultant per trobar el valor de «x». Un cop obtingut, podem substituir els valors de «x» i «y» en una altra de les equacions originals per trobar el valor de «z».
Seguint aquests passos, podràs resoldre un sistema de tres equacions amb tres incògnites utilitzant el mètode d’eliminació.